Thomas Kuhn: El progreso en ciencia no es una acumulación de descubrimientos sino que una verdadera revolución científica es aquella que implica un cambio de paradigma, una nueva forma de interpretar la realidad.

La creatividad consiste en desarrollar un conocimiento entre los distintos ámbitos del saber, como entre ciencia y arte

1. Primera Guerra Mundial: 28/07/1914

28+07+19+14= 68

2. Segunda Guerra Mundial: 01/ 09/ 1939

01+09+19+39= 68

3. Inicio de la operación especial, Rusia bombardea Ucrania: 24/ 02/ 2022

24+02+20+22= 68

Y en el calendario mahometano?

Creatividad artística versus científica

La creatividad parece una disciplina más vinculada al arte que a la ciencia, sin embargo la creatividad es una habilidad o capacidad de la mente para generar nuevas ideas, actividad que se realiza constantemente en la ciencia. Desde el arte podríamos decir que la creatividad se genera a partir de la inspiración o intuición del artista, mientras que las ideas que surgen del científico aunque también pueden partir de intuiciones, están condicionadas por la aplicación de la lógica. El artista puede trabajar a partir de una buena idea, para el científico esto no es suficiente, la idea se debe acomodar a la realidad del ámbito en el que trabaja.

Diferencias entre la creatividad artística y la creatividad científica

Creatividad artística	Creatividad científica
Puede ser anárquica	Es metódica
Es flexible	Es rígida
Puede prescindir de la observación	Requiere la observación
No requiere hipótesis	Formula hipótesis
Parte de la imaginación	Parte del razonamiento o experimentación
No tiene limitaciones de ningún tipo	Existen las limitaciones del entorno
No necesita explicación	Desarrolla explicaciones coherentes
No requiere poner a prueba los descubrimientos ni tampoco que la obra tenga utilidad o funcionalidad, salvo la estética y emocional.	Pone a prueba sus descubrimientos para verificar su utilidad
Busca la estética -usualmente.	La estética es excepcional
Puede moverse en la ficción	Se mueve en el mundo real
Interpreta la naturaleza	Describe la naturaleza
Puede prescindir del sentido de las cosas	Busca el sentido de las cosas
Apenas tiene limitaciones sociales	La sociedad le impone ciertas limitaciones
Tienen extrema libertad para crear	Tienen bastantes restricciones para crear, aquellas derivadas de las metodologías de la investigación.
No requiere del trabajo precedente de otros compañeros	Es generalmente un continuador que se apoya en descubrimientos anteriores
Puede ser desarrollada sin orden ni estructuración alguna.	Suele ser una actividad mecánica y rutinaria, hondamente estructurada
Es intuitiva, inmediata	Es analítica, secuencial, se desarrolla paso a paso.
Es producto de un esfuerzo intelectual y usualmente de otras destrezas	Es producto casi exclusivamente de un esfuerzo intelectual
Requiere extrema sensibilidad y está cargada de profundas emociones	Usualmente no requiere sensibilidad ni se mueve en un ámbito emocional
Pueden moverse en lo accesorio e irrelevante y prescindir de la comprensión de sus elementos.	Requiere perspicacia, honda comprensión de los elementos deteniéndose en lo nuclear, en lo esencial.
Suele requerir un dominio de la técnica	Requiere un dominio de los contenidos
Es innata aunque se puede potenciar mediante el aprendizaje	Aunque también tiene carácter innato, basándose en procedimientos inductivos o deductivos, está más apoyada en el aprendizaje.
La evaluación de la creatividad artística se rige por un dictamen estético y subjetivo	La evaluación es producto de su aplicación en la ciencia o en la técnica.

Ejemplo de feliz cohesión entre creatividad artística y científica:

http://m-c-escher.blogspot.com.es/

Los principios del conocimiento.

La noción de operación en Jean Piaget se aplica a realidades muy diversas, aunque perfectamente definidas. Hay operaciones lógicas, como las que entran en la composición de un sistema de conceptos o clases [reunión de individuos o de relaciones, operaciones aritméticas [suma, multiplicación, etc., y sus contrarias, operaciones geométricas [secciones, desplazamientos, etc., temporales [seriación de los acontecimientos y, por tanto, de sucesión, y encajamiento de los intervalos, mecánicas, físicas, etc. Una operación es, pues, en primer lugar, psicológicamente, una acción cualquiera [reunir individuos o unidades numéricas, desplazar, etc., cuya fuente es siempre motriz, perceptiva o intuitiva. Dichas acciones que se hallan en el punto de partida de las operaciones tienen, pues, a su vez como raíces esquemas sensoriomotores, experiencias afectivas o mentales [intuitivas y constituyen, antes de ser operatorias, la propia materia de la inteligencia sensoriomotriz y, más tarde, de la intuición. ¿Cómo explicar, por tanto, el paso de las intuiciones a las operaciones? Las primeras se transforman en segundas a partir del momento en que constituyen sistemas de conjunto a la vez componibles y reversibles. En otras palabras, y de una manera general, las acciones se hacen operatorias desde el momento en que dos acciones del mismo tipo pueden componer una tercera acción que pertenezca todavía al mismo tipo, y estas diversas acciones pueden invertirse o ser vueltas del revés; así es cómo la acción de reunir [suma lógica o suma aritmética es una operación, porque varias reuniones sucesivas equivalen a una sola reunión (composición de sumas y las reuniones pueden ser invertidas y transformadas así en disociaciones …)

(Cfr.: Seis estudios de psicología, Seix Barral, Barcelona 1973, 6ª ed., p. 76-77.)

Para Jean Piaget hay dos tipos de experiencia, física y lógico-matemática: No hay duda de que todo conocimiento supone una intervención de la experiencia y parece innegable que, sin una manipulación de los objetos, el niño no llegaría a construir las correspondencias de uno por uno que le sirven para elaborar el número entero ni a descubrir que la suma de unos cuantos objetos es siempre la misma, cualquiera que sea su orden de enumeración, etc. Incluso una verdad como 2+2=4 y sobre todo la operación inversa 4 - 2=2 exige echar mano de la experiencia; y esto es también válido para la transitividad lógica elemental A=B, B=C, por tanto A=C, que no se impone en absoluto de manera necesaria antes de los seis o siete años en el caso de las longitudes, etc., ni tampoco antes de los nueva años en el caso de los pesos. [...] En resumen, podemos conceder a los partidarios de la experiencia que incluso las verdades lógicas y aritméticas más simples y más generales se construyen con ayuda de aquélla, antes de dar lugar a una manipulación operatoria puramente deductiva. Pero ¿de qué experiencia se trata? Y ¿se puede asimilar sin más la experiencia lógico-matemática de los niveles preoperatorios a la experiencia física de los mismos niveles o de niveles ulteriores?.

El examen de los comportamientos del niño frente a los objetos prueba que existen dos tipos de experiencias y dos tipos de abstracciones: uno cuando la experiencia se refiere a las cosas mismas y permite descubrir alguna de sus propiedades; otro, cuando la experiencia se refiere a coordinaciones que no estaban en las cosas, sino que han sido introducidas por la acción -utilizando aquéllas- para sus propias necesidades.

Existe en primer lugar la experiencia del objeto que conduce a una observación a partir del mismo: la experiencia física, que es propiamente un descubrimiento de las propiedades de las cosas. Descubrimiento que, por otra parte, supone siempre tal o cual acción particular relativa a una determinada cualidad del objeto, y no, o no solamente, las coordinaciones generales de la acción. [...]

En cambio, el niño que cuenta diez cantos y descubre que siempre son diez incluso cuando permuta su orden, hace una experiencia de naturaleza completamente distinta: en realidad no experimenta sobre los cantos, que simplemente le sirven de instrumentos, sino sobre sus propias acciones de ordenar y enumerar. Y, en efecto, estas acciones presentan dos características muy distintas de la acción de sopesar. En primer término, son acciones que enriquecen el objeto con propiedades que no tenía por sí mismo, pues la colección de cantos no tenía en sí ni orden ni número independientemente del sujeto. Es éste el que abstrae tales propiedades partiendo de sus propias acciones y no a partir del objeto. En segundo lugar, son acciones generales, o, dicho con más precisión, coordinaciones de acciones [...] que se transformarán muy rápidamente (a partir de los siete u ocho años) en operaciones interiorizadas, de manera que en el siguiente nivel el niño no tendrá ya necesidad de experimentar para saber que diez siempre serán diez independientemente del orden seguido: lo deducirá por operaciones lógicas.

(Cfr.: Psicología y epistemología, Ariel, Barcelona 1975, 3ª, p.41-44.)

Jean Piaget: la inteligencia sensoriomotriz

El período que va del nacimiento a la adquisición del lenguaje está marcado por un desarrollo mental extraordinario. Se ignora a veces su importancia, ya que no va acompañado de palabras que permitan seguir paso a paso el progreso de la inteligencia y de los sentimientos, como ocurrirá más tarde. No por ello es menos decisivo para toda la evolución psíquica ulterior: consiste nada menos que en una conquista, a través de las percepciones y los movimientos, de todo el universo práctico que rodea al niño pequeño. Ahora bien, esta «asimilación sensoriomotriz» del mundo exterior inmediato, sufre, en dieciocho meses o dos años, toda una revolución copernicana en pequeña escala: mientras que al comienzo de este desarrollo el recién nacido lo refiere todo a sí mismo, o, más concretamente, a su propio cuerpo, al final, es decir, cuando se inician el lenguaje y el pensamiento, se sitúa ya prácticamente como un elemento o un cuerpo entre los demás, en un universo que ha construido poco a poco y que ahora siente ya como algo exterior a él. Vamos a describir paso a paso las etapas de esta revolución copernicana, en su doble aspecto de inteligencia y de vida afectiva nacientes.

Desde el primero de estos puntos de vista, pueden distinguirse, como ya hemos hecho más arriba, tres estadios entre el nacimiento y el final de este período: el de los reflejos, el de la organización de las percepciones y hábitos y el de la inteligencia sensoriomotriz propiamente dicha. En el momento del nacimiento, la vida mental se reduce al ejercicio de aparatos reflejos, es decir, de coordinaciones sensoriales y motrices montadas de forma absolutamente hereditaria que corresponden a tendencias instintivas tales como la nutrición. Contentémonos con hacer notar, a este respecto, que estos reflejos, en la medida en que interesan a conductas que habrán de desempeñar un papel en el desarrollo psíquico ulterior, no tienen nada de esa pasividad mecánica que cabría atribuirles, sino que manifiestan desde el principio una auténtica actividad, que prueba precisamente la existencia de una asimilación sensoriomotriz precoz. En primer lugar, los reflejos de succión se afinan con el ejercicio: un recién nacido mama mejor al cabo de una o dos semanas que al principio. Luego, conducen a discriminaciones o reconocimientos prácticos fáciles de descubrir. Finalmente y sobre todo, dan lugar a una especie de generalización de su actividad: el lactante no se contenta con chupar cuando mama, sino que chupa también en el vacío, se chupa los dedos cuando los encuentra, después, cualquier objeto que fortuitamente se le presente y, finalmente, coordina el movimiento de los brazos con la succión hasta llevarse sistemáticamente, a veces desde el segundo mes, el pulgar a la boca. En una palabra, asimila una parte de su universo a la succión, hasta el punto de que su comportamiento inicial podría expresarse diciendo que, para él, el mundo es esencialmente una realidad susceptible de ser chupada. Es cierto que, rápidamente, ese mismo universo habrá de convertirse en una realidad susceptible de ser mirada, escuchada y, cuando los propios movimientos lo permitan, sacudida. Pero estos diversos ejercicios reflejos, que son como el anuncio de la asimilación mental, habrán de complicarse muy pronto al integrarse en hábitos y percepciones organizadas, es decir, que constituyen el punto de partida de nuevas conductas, adquiridas con ayuda de la experiencia. La succión sistemática del pulgar pertenece ya a ese segundo estadio, al igual que los gestos de volver la cabeza en dirección a un ruido, o de seguir un objeto en movimiento, etc. Desde el punto de vista perceptivo, se observa, desde que el niño empieza a sonreír [quinta semana y más, que reconoce a ciertas personas por oposición a otras, etc. [pero no por esto debemos atribuirle la noción de persona o siquiera de objeto: lo que reconoce son apariciones sensibles y animadas, y ello no prueba todavía nada con respecto a su sustancialidad, ni con respecto a la disociación del yo y el universo exterior. Entre los tres y los seis meses [generalmente hacia los cuatro meses y medio, el lactante comienza a coger lo que ve, y esta capacidad de prensión, que más tarde será de manipulación, multiplica su poder de formar nuevos hábitos. Ahora bien, ¿cómo se construyen esos conjuntos motores [hábitos nuevos, y esos conjuntos perceptivos [al principio las dos clases de sistemas están unidos: puede hacerse referencia a ellos hablando de «esquemas sensorio-motores»? El punto de partida es siempre un ciclo reflejo, pero un ciclo cuyo ejercicio, en lugar de repetirse sin más, incorpora nuevos elementos y constituye con ellos totalidades organizadas más amplias, merced a diferenciaciones progresivas. Ya luego, basta que ciertos movimientos cualesquiera del lactante alcancen fortuitamente un resultado interesante -interesante por ser asimilable a un esquema anterior- para que el sujeto reproduzca inmediatamente esos nuevos movimientos: esta «reacción circular», como se la ha llamado, tiene un papel esencial en el desarrollo sensoriomotor y representa una forma más evolucionada de asimilación. Pero lleguemos al tercer estadio, que es mucho más importante aún para el ulterior desarrollo: el de la inteligencia práctica o sensoriomotriz propiamente dicha. La inteligencia, en efecto, aparece mucho antes que el lenguaje, es decir, mucho antes que el pensamiento interior que supone el empleo de signos verbales [del lenguaje interiorizado. Pero se trata de una inteligencia exclusivamente práctica, que se aplica a la manipulación de los objetos y que no utiliza, en lugar de las palabras y los conceptos, más que percepciones y movimientos organizados en «esquemas de acción». Coger un palo para atraer un objeto que está un poco alejado, por ejemplo, es un acto de inteligencia [incluso bastante tardío: hacia los dieciocho meses, puesto que un medio, que aquí es un verdadero instrumento, está coordinado con un objeto propuesto de antemano, ha sido preciso comprender previamente la relación del bastón con el objetivo para descubrir el medio. Un acto de inteligencia más precoz consistirá en atraer el objeto tirando de la manta o del soporte sobre el que descansa [hacia el final del primer año; y podrían citarse otros muchos ejemplos. Intentemos más bien averiguar cómo se construyen esos actos de inteligencia. Pueden invocarse dos clases de factores. Primeramente, las conductas anteriores que se multiplican y se diferencian cada vez más, hasta adquirir una flexibilidad suficiente para registrar los resultados de la experiencia. Así es como, en sus «reacciones circulares», el bebé no se contenta ya con reproducir simplemente los movimientos y los gestos que han producido un efecto interesante: los varía intencionalmente para estudiar los resultados de esas variaciones, y se dedica así a verdaderas exploraciones o «experiencias para ver». Todo el mundo ha podido observar, por ejemplo, el comportamiento de los niños de doce meses aproximadamente que consiste en tirar al suelo los objetos, ora en una dirección, ora en otra, para analizar las caídas y las trayectorias. Por otra parte, los «esquemas» de acción, construidos ya al nivel del estadio precedente y multiplicados gracias a nuevas conductas experimentales, se hacen susceptibles de coordinarse entre sí, por asimilación recíproca, a la manera de lo que habrán de ser más tarde las nociones o conceptos del pensamiento propiamente dicho. En efecto, una acción apta para ser repetida y generalizada a nuevas situaciones es comparable a una especie de concepto sensoriomotor: y así es cómo, en presencia de un objeto nuevo para él, vemos al bebé incorporarlo sucesivamente a cada uno de sus «esquemas de acción» [sacudirlo, frotarlo, mecerlo, etc. como si se tratase de comprenderlo por el uso [es sabido que hacia los cinco y los seis años los niños definen todavía los conceptos empezando por las palabras «es para»: una mesa «es para escribir encima»; etc.. Existe, pues, una asimilación sensoriomotriz comparable a lo que será más tarde la asimilación de lo real a través de las nociones y el pensamiento. Es, por tanto, natural que esos diversos esquemas de acción se asimilen entre sí, es decir, se coordinen de tal forma que unos asignen un objetivo a la acción total, mientras que otros le sirven de medios, y con esta coordinación, comparable a las del estadio anterior, pero más móvil y flexible, se inicia la etapa de la inteligencia práctica propiamente dicha.

Ahora bien, el resultado de ese desarrollo intelectual es efectivamente, como anunciábamos más arriba, transformar la representación de las cosas, hasta el punto de hacer dar un giro completo o de invertir la posición inicial del sujeto con respecto a ellas. En el punto de partida de la evolución mental no existe seguramente ninguna diferenciación entre el yo y el mundo exterior, o sea, que las impresiones vividas y percibidas no están ligadas ni a una conciencia personal sentida como un «yo», ni a unos objetos concebidos como exteriores: se dan sencillamente en un bloque indisociado, o como desplegadas en un mismo plano, que no es interno, ni externo, sino que está a mitad de camino entre estos dos polos, que sólo poco a poco irán oponiéndose entre sí. Pero, a causa precisamente de esa indisociación primitiva, todo lo que es percibido está centrado en la propia actividad: el yo se halla al principio en el centro de la realidad, precisamente porque no tiene conciencia de sí mismo, y el mundo exterior se objetivará en la medida en que el yo se construya en tanto que actividad subjetiva o interior. Dicho de otra forma, la conciencia empieza con un egocentrismo inconsciente e integral, mientras que los progresos de la inteligencia sensoriomotriz desembocan en la construcción de un universo objetivo, dentro del cual el propio cuerpo aparece como un elemento entre otros, y a este universo se opone la vida interior, localizada en ese cuerpo propio. Cuatro procesos fundamentales caracterizan esta revolución intelectual que se realiza durante los dos primeros años de la existencia; se trata de las construcciones de las categorías del objeto y del espacio, de la causalidad y del tiempo, todas ellas, naturalmente, como categorías prácticas o de acción pura, y no todavía como nociones del pensamiento. El esquema práctico del objeto es la permanencia sustancial atribuida a los cuadros sensoriales y, por consiguiente, de hecho, la creencia según la cual una figura percibida corresponde a «algo» que seguirá existiendo aun cuando uno deje de percibirlo. Ahora bien, es fácil demostrar que durante los primeros meses, el lactante no percibe objetos propiamente dichos, Reconoce ciertos cuadros sensoriales familiares, eso sí, pero el hecho de reconocerlos cuando están presentes no equivale en absoluto a situarlos en algún lugar cuando se hallan fuera del campo perceptivo. [...]

Hasta el final del primer año, el bebé no busca los objetos cuando acaban de salir de su campo de percepción, y éste es el criterio que permite reconocer un principio de exteriorización del mundo material. En resumen, la ausencia inicial de objetos sustanciales más la construcción de objetos fijos y permanentes es un primer ejemplo de ese paso del egocentrismo integral primitivo a la elaboración final de un universo exterior. La evolución del espacio práctico es enteramente solidaria de la construcción de los objetos. Al principio, hay tantos espacios, no coordinados entre sí, como campos sensoriales [espacios bucal, visual, táctil, etc. y cada uno de ellos está centrado en los movimientos y actividad propios. El espacio visual, por ejemplo, no conoce al principio las mismas profundidades que el niño habrá de construir más adelante. Al final del segundo año, en cambio, existe ya un espacio general, que comprende a todos los demás, y que caracteriza las relaciones de los objetos entre sí y los contiene en su totalidad, incluido el propio cuerpo. La elaboración del espacio se debe esencialmente a la coordinación de los movimientos, y aquí se ve la estrecha relación que existe entre este desarrollo y el de la inteligencia sensoriomotriz propiamente dicha. En su egocentrismo, la causalidad se halla al principio relacionada con la propia actividad: consiste en la relación -que durante mucho tiempo seguirá siendo fortuita para el sujeto- entre un resultado empírico y una acción cualquiera que lo ha producido. Así es como, al tirar de los cordones que penden del techo de su cuna, el niño descubre el derrumbamiento de todos los juguetes que alli estaban colgados, y ello le hará relacionar causalmente la acción de tirar de los cordones y el efecto general de derrumbamiento. Ahora bien, inmediatamente utilizará este esquema causal para actuar a distancia sobre cualquier cosa: tirará del cordón para hacer continuar un balanceo que ha observado a dos metros de distancia, para hacer durar un silbido que ha oído al fondo de la habitación, etc. Esta especie de causalidad mágica o «mágico-fenomenista» pone bastante de manifiesto el egocentrismo causal primitivo. En el curso del segundo año, por el contrario, el niño reconoce las relaciones de causalidad de los objetos entre sí: objetiviza y localiza, pues, las causas. La objetivación de las series temporales es paralela a la de la causalidad. En suma, en todos los terrenos encontramos esa especie de revolución copernicana que permite a la inteligencia sensoriomotriz arrancar el espíritu naciente de su egocentrismo inconsciente radical para situarlo en un «universo», por práctico y poco «meditado» que sea. (Cfr.: seis estudios de psicología, Seix Barral, Barcelona 1973, 6ª ed., p. 19-28).

Después de los once o doce años, el pensamiento formal se hace justamente posible, es decir, que las operaciones lógicas comienzan a ser transpuestas del plano de la manipulación concreta al plano de las meras ideas, expresadas en un lenguaje cualquiera [el lenguaje de las palabras o el de los símbolos matemáticos, etc., pero sin el apoyo de la percepción, ni la experiencia, ni siquiera la creencia. Cuando decimos, en el ejemplo que acabamos de citar: «Edith tiene los cabellos más oscuros que Lili, etc.», presentamos, en abstracto, efectivamente, a tres personajes ficticios, que no son más que simples hipótesis para el pensamiento, y sobre estas hipótesis pedimos al niño que razone. El pensamiento formal es, por lo tanto, «hipotético-deductivo», es decir, que es capaz de deducir las conclusiones que hay que sacar de puras hipótesis, y no sólo de una observación real. Sus conclusiones son válidas aun independientemente de su verdad de hecho, y es por ello por lo que esa forma de pensamiento representa una dificultad y un trabajo mental mucho más grande que el pensamiento concreto. (Id. p. 96-97).

Jung: Sobre la intuición

Sobre la intuición, Jung expresa: “No soy partidario de argumentos filosóficos que se recrean con las complicaciones inventadas por ellos mismos. Si bien mi planteamiento parece sofístico, representa, cuando menos, una bien intencionada pretensión de formular hechos observados. Verbigracia, podría decirse muy simplemente: dado que no lo sabemos todo, prácticamente toda experiencia, hecho u objeto, involucran algo desconocido. Por consiguiente, si hablamos de la totalidad de una experiencia, el término "totalidad" sólo puede referirse a la parte consciente de la misma.

Como no cabe suponer que nuestra experiencia abrace la totalidad del objeto, es claro que la totalidad absoluta de éste necesariamente habrá de contener una parte no experimentada. Esto mismo es válido -según dije antes- para toda experiencia y, asimismo, para la psique, cuya totalidad absoluta abarca en todos los casos una extensión harto mayor que la conciencia. En otras palabras: la psique no constituye excepción alguna a la regla general según la cual la esencia del universo sólo puede conocerse en la medida permitida por nuestro organísmo psíquico.

La experiencia psicológica invariablemente me ha mostrado que ciertos contenidos proceden de una psique más amplia que la conciencia. Con frecuencia encierran un análisis, una comprensión o un saber superiores al que la conciencia sería capaz de producir. El termino apropiado para estos acontecimientos es intuición. Al oírlo, la mayoría de la gente experimenta un sentimiento agradable, como si con él se dijera algo. Pero jamás reparan que la intuición no se hace, sino que, por el contrario, siempre adviene espontáneamente: se tiene una ocurrencia, originada de por sí, y a la que podemos captar sólo cuando le echamos mano con suficiente rapidez”.

(C. G. Jung: Editorial Paidós. Buenos Aires, 1949)

- Sobre la epistemología como fuente objetiva de conocimiento:

(Epistemología procede del latín principium, comienzo, origen, fundamento, principio, derivado de princeps, príncipe, derivado a su vez de primus y capio: el que ocupa el primer lugar). Lo que es fundamento, origen y comienzo tanto del pensamiento (aspecto epistemológico y lógico) como del aparecer de las cosas (aspecto ontológico). Esta duplicidad de aspectos del principio surge desde el primer momento en que empieza la filosofía: arkhé, principio o comienzo entre los presocráticos, es el elemento material (orden ontológico) del que surge y al que se reduce la naturaleza, y que ha de ser conocido (orden epistemológico) como realidad última para poder explicarla; Platón atribuye a la idea del Bien la doble cualidad de ser causa y origen del mundo inteligible y paradigma del mundo visible; Aristóteles distingue entre los primeros principios del conocimiento, principios del cambio y primeros principios y las primeras causas de todas las cosas; los primeros son lógicos, los segundos gnoseológicos y los terceros metafísicos u ontológicos. Kant denominará a la pregunta por el principio «búsqueda de lo incondicionado», legítima en el orden del pensamiento, por lo que puede ser buscado y pensado como principio explicativo, pero ilegítima en el orden de lo existente, porque nunca puede ser hallado o conocido, al estar más allá de toda experiencia posible.

Los principios lógicos reciben el nombre de leyes generales del pensamiento y se consideran como tales los principios de identidad, no contradicción y tercero excluso, así como los axiomas y definiciones, las leyes de la lógica y las premisas de los razonamientos. Los principios que se refieren a la realidad los describen las ciencias, con la denominación adecuada de leyes de la naturaleza; sin embargo, la afirmación de que todo fenómeno obedece a leyes (causales o no) es un principio de orden metafísico.

El principio de causalidad como método de acceder al conocimiento es el principio de la filosofía clásica según el cual la relación de causa y efecto, o de causalidad, debe extenderse a todo el ámbito de la realidad. En la filosofía clásica, este principio tiene valor universal tanto en el ámbito del ser como del conocer y, junto con el principio de razón suficiente, que es su equivalente en la formulación de Leibniz («Nada sucede sin razón»), fundamenta los razonamientos a posteriori, sobre hechos de experiencia, de la misma manera que el principio de no contradicción o de identidad, fundamenta los razonamientos a priori, independientes de la experiencia. En la filosofía escolástica, donde este principio se formula como «todo ente contingente supone necesariamente una causa», recibe un alcance metafísico y se le considera medio necesario para la demostración de la existencia de Dios.

En la filosofía moderna, se ha discutido profusamente si este principio era analítico (a priori) o sintético (a posteriori). El empirismo sostuvo decididamente, en contra del racionalismo, su carácter empírico; Kant fundió ambas posturas con la afirmación del carácter sintético a priori del principio. Con la ciencia moderna, y la aplicación a todo el ámbito de la naturaleza de la causalidad universal, se ha llegado a la afirmación del determinismo causal físico: «Todo cuanto comienza ha de tener una causa», o «a idéntico efecto idéntica causa». Sin embargo, el mundo físico de las partículas subatómicas parece negar la afirmación de la validez universal del principio de causalidad; el principio de indeterminación de Heisenberg prohíbe utilizar a un mismo tiempo conceptos mutuamente incompatibles (como posición y velocidad, onda y corpúsculo), con lo que sólo puede recurrirse a leyes de probabilidad para predecir los fenómenos del mundo subatómico, que quedaría, por eso mismo, fuera del alcance universal del principio de causalidad.

El principio de identidad – identidad, igualdad, homotecia afín son sinónimos en geometría- es una de las leyes del pensamiento tradicional, cuya formulación ontológica es: «Todo ser es idéntico a sí mismo», mientras que en lógica se dice que «Si un enunciado es verdadero, entonces es verdadero».

El principio de indeterminación es fundamental en la mecánica cuántica, también llamado principio de incertidumbre o relación de indeterminación, que afirma que la inexactitud forma parte natural de nuestro conocimiento del mundo subatómico. Según la formulación de Werner Heisenberg, en 1927, «no es posible determinar a la vez la posición y la velocidad de una partícula atómica con un grado de precisión arbitrariamente fijado». Heisenberg demostró que el producto de ambas imprecisiones era igual o superior a un valor determinado (la constante de Planck ), lo cual significa que es imposible conocer con suficiente precisión la situación de un estado físico en un instante determinado para poder predecir la situación del mismo estado físico en un instante inmediatamente posterior. El principio de indeterminación, por consiguiente, supone que en la realidad subatómica no rige el determinismo físico. En este dominio, las leyes sólo logran una formulación estadística. Hay autores, incluido el mismo Heisenberg, que extienden esta indeterminación cuántica también al mundo físico macroscópico, con la salvedad, no obstante, de que en este campo el error -por ser tan pequeño- es prácticamente perceptible.

El principio de no contradicción establece una de las leyes del pensamiento tradicionales, cuya formulación ontológica es: «Una cosa no puede ser ella misma y su contrario, en el mismo aspecto y en el mismo momento»; mientras que su formulación lógica es: «Es imposible que un enunciado sea a la vez verdadero y falso».

El principio cierto por excelencia: Aristóteles afirmaba que no es posible afirmar cosas contrarias de lo mismo. El principio cierto por excelencia es aquel respecto del cual todo error es imposible. En efecto, el principio cierto por excelencia debe ser el más conocido de los principios, porque siempre se incurre en error respecto de las cosas que no se conocen, y un principio, cuya posesión es necesaria para comprender las cosas, no es una suposición. Por último, el principio que hay necesidad de conocer para conocer lo que quiera que sea es preciso poseerlo también necesariamente, para abordar toda clase de estudios. Pero ¿cuál es este principio? Es el siguiente: es imposible que el mismo atributo pertenezca y no pertenezca al mismo sujeto, en un tiempo mismo y bajo la misma relación.

Cfr.: Aristóteles: Metafísica, IV, 3 (Espasa Calpé, Madrid 1988, p. 108).

Aristóteles y el principio de identidad o de no contradicción:”Hay un principio en los seres, relativamente al cual no se puede incurrir en error, precisamente ha de suceder lo contrario, esto es, que se está siempre en lo cierto. Este principio es el siguiente: no es posible que una misma cosa sea y no sea a un mismo tiempo; y lo mismo sucede en todas las demás oposiciones absolutas. No cabe demostración de este principio; y, sin embargo, se puede refutar al que lo niegue. En efecto, no hay otro principio más cierto que éste, del cual pudiera deducírsele por el razonamiento, y era preciso que fuera así para que hubiera realmente demostración. Pero si se quiere demostrar al que pretenda que las proposiciones opuestas son igualmente verdaderas que está en un error, será preciso tomar un objeto que sea idéntico a sí propio, en cuanto puede ser y no ser el mismo en uno solo y mismo momento, y el cual, sin embargo, conforme al sistema, no sea idéntico. Es la única manera de refutar al que pretende que es posible que la afirmación y la negación de una misma cosa sean verdaderas al mismo tiempo. Por otra parte, los que quieren conversar entre sí deben comprenderse, porque ¿cómo puede sin esta condición haber entre ellos comunicación de pensamientos? Es preciso, por lo tanto, que cada una de las palabras sea conocida, que exprese una cosa, no muchas, sino una sola; o bien, si tienen muchos sentidos, es preciso que indique claramente el objeto que al presente se quiere indicar con la palabra. En cuanto al que dice que tal cosa es y no es, niega lo mismo que afirma, y por consiguiente afirma que la palabra no significa lo que significa. Pero esto es imposible; es imposible, si la expresión tal cosa tiene un sentido, que la negación de la misma cosa sea verdadera. Si la palabra designa la existencia de un objeto, y esta existencia es una realidad, necesariamente es una realidad; pero lo que existe necesariamente no puede al mismo tiempo no existir. Es, por tanto, imposible que las afirmaciones opuestas sean verdaderas al mismo tiempo respecto del mismo ser”. -Aristóteles: Metafísica, XI, 5 (Espasa Calpe, Madrid 1988, p. 279-280).

- Aristóteles, sobre el principio de no contradicción aduce:

“Ciertos filósofos [...] pretenden que una misma cosa pueda ser y no ser, y que se pueden concebir simultáneamente los contrarios. Tal es la aserción de la mayor parte de los físicos. Nosotros acabamos de reconocer que es imposible ser y no ser al mismo tiempo, y fundados en esta imposibilidad hemos declarado que nuestro principio es el principio cierto por excelencia.

También hay filósofos que, dando una muestra de ignorancia, quieren demostrar este principio; porque es ignorancia no saber distinguir lo que tiene necesidad de demostración de lo que no la tiene. Es absolutamente imposible demostrarlo todo, porque sería preciso caminar hasta el infinito; de suerte que no resultaría demostración. Y si hay verdades que no deben demostrarse, dígasenos qué principio, como no sea el expuesto, se encuentra en semejante caso.”- Aristóteles: Metafísica, IV, 4, 1006 (Espasa Calpe, Madrid 1988, p. 109).

El principio de razón suficiente: Es la versión y corrección que Leibniz hace del principio de causalidad. Según dicho principio, también llamado «principio de la elección de lo mejor» o «principio de la armonía», la causa de un acontecimiento no es sólo la razón de su existencia, sino también de su esencia: de que sea de un modo determinado y no de otro. Leibniz, por tanto, asume el principio de causa est ratio: la causa es también la razón de cómo es el efecto, no sólo la razón de que exista, siguiendo la idea tradicional de que el efecto debe asemejarse a la causa. En esto se manifiesta el racionalismo de Leibniz: la naturaleza no es sólo un mecanismo que se explica por causalidad mecánica, sino que es posible dar razón de la naturaleza conociendo, por el principio de razón suficiente, los fines a que se orienta, que no son sólo teóricos sino también morales. Este mundo no se explica sólo tal cual es, sino que la explicación (científica) del mundo ha de incluir que es tal cual es (físicamente) porque es el mejor de los mundos posibles (moralmente).

El principio del placer y el principio de realidad:

Según Freud, el principio del placer junto con el principio de realidad son principios que rigen el funcionamiento psíquico humano. La noción de principio del placer fue inicialmente formulada por Fechner en 1848 bajo el nombre de «principio del placer de la acción», pero es Freud quien tematiza a lo largo de sus obras la noción de principio de placer entendido como rector de los actos que tienden a la consecución del placer o, mejor dicho, al alejamiento del dolor o displacer. En una primera etapa Freud lo denominó «principio de la inercia de las neuronas», y según él, es el que rige el funcionamiento del sistema neuronal para mantenerse en un estado de baja excitación ya que, en caso contrario, aparece el dolor o displacer. Más adelante concebirá este principio como regulador general de la estructura psicológica, de forma que, a partir de su división en tres estructuras de la psique: el ello el yo y el superyó, considerará que el ello, que es inconsciente, está regido por el principio del placer que tiende a la inmediata satisfacción y realización de todos los deseos y pulsiones bien realmente, bien en la fantasía, a efectos de reducir la excitación. El yo, en cambio, a instancias del superyó, se rige por el principio de realidad, que en base a las exigencias éticas socialmente establecidas, modifica los impulsos surgidos del ello. Mediante el principio de realidad el yo toma la decisión de si debe realizar o postergar la satisfacción de los deseos o, incluso, si debe suprimir la aspiración de la pulsión por considerarla peligrosa. La formación del yo se determina a partir de esta tensión entre los dos principios psíquicos fundamentales.

En Más allá del principio del placer, Freud defendió la existencia de un instinto de muerte (thánatos) que tiene como misión el retorno de todo lo animado al estado de inanimado, en oposición al eros cuya misión es, por el contrario, perpetuar la vida.

El debate sobre Fundamentos de la geometría:

Las Matemáticas difieren de las demás ciencias en que todas sus proposiciones deben ser demostradas. Cuál deba ser el contenido o la extensión de estas demostraciones es discutible, pero todos los matemáticos estarán de acuerdo en decir que el objetivo de la matemática es la demostración. Las únicas vías para cuestionar una demostración son

1) discutir las presunciones sobre las que se basa o

2) discutir la validez de las inferencias que contiene.

Si, después de reflexionar sobre ello, se aceptan las presunciones y las inferencias, debemos aceptar la demostración y afirmar que su conclusión es una verdad matemática, un teorema. La mayoría de las demostraciones matemáticas tienen como presunciones otros teoremas ya demostrados con anterioridad; pero si insistimos en discutir las presunciones, llegaremos hasta determinados conceptos que simplemente se aceptan como verdaderos sin otra demostración.

Ello significa que, las matemáticas precisan de unos fundamentos: unas presunciones últimas (aserciones no demostradas y conceptos no definidos) sobre los que se edifican todas las demostraciones y conceptos matemáticos. El problema es, pues, si puede encontrarse un reducido número de conceptos básicos claros y de primeros principios verdaderos, sobre los que desarrollar de forma sistemática todas las matemáticas.

Las matemáticas, históricamente, estaban basadas en unas cuantas intuiciones geométricas y numéricas que podían ser imaginadas, pero no podían ser rigurosamente definidas (el proceso de contar o los postulados de Euclides). Durante el siglo XIX, los matemáticos, no sólo fueron exigiendo un mayor rigor en las definiciones, sino que, además, empezaron a desarrollar nuevos sistemas basados en principios que podían llegar a ser muy distintos a las intuiciones aceptadas desde los griegos: geometrías no euclídeas, teoría sobre los números reales, conceptos de cuerpo, anillo, grupo, etc. Paradójicamente, al separarse de estas intuiciones primitivas, los matemáticos se dieron cuenta de que sus nuevas teorías, más abstractas, podían ser aplicadas a un mayor número de campos.

La Teoría de Conjuntos:

A partir de 1874, Georg Cantor (1845-1918) inició la exposición de la Teoría de Conjuntos. Su punto de partida eran las colecciones de objetos; y rápidamente, aunque no sin resistencias, se convirtió en el candidato ideal para ser usado como fundamento de la Matemática [Ver 30 Weil Pág. 2]. Con el decidido apoyo de Richard Dedekind (1831-1916) y Karl Weierstrass (1815-1897) y el firme rechazo por parte de Leopold Kronecker (1823-1891) [Ver 6 Giaquinto Pág. 120], Cantor siguió con la publicación de sus artículos en el Journal de Crelle y en Mathematische Annalen, hasta que, finalmente, entre 1895 y 1897, publicó su tratado en dos volúmenes de Teoría de Conjuntos, en el que sistematizaba todas las ideas expuestas en sus anteriores artículos.

Las ideas básicas que Cantor exponía por primera vez son hoy familiares, pero en ese momento fueron realmente revolucionarias: la existencia de diferentes clases de infinito, las propiedades de los buenos órdenes, los ordinales y los cardinales, las operaciones con números transfinitos, etc. Como ya había defendido en sus anteriores artículos, Cantor afirmaba que las matemáticas son muy libres [Ver 8 Grattan Pág. 120] y que las únicas condiciones que deben exigirse para la incorporación de un nuevo concepto matemático, son 1) que no sea contradictorio y 2) que se defina en función de los conceptos previamente aceptados.

Las Paradojas:

No obstante, no tardaron en surgir los primeros resultados paradójicos a partir de los principios de Cantor. La primera paradoja fue planteada en 1897 por Cesare Burali-Forti (1861-1931), aunque parece ser que Cantor ya era consciente de ella: si el conjunto de todos los ordinales es también un ordinal, ello conduce a una contradicción. En 1899, el propio Cantor descubrió una nueva paradoja: ¿cuál es el cardinal del conjunto de todos los conjuntos? Pero la paradoja que tuvo un efecto más devastador fue la planteada por Bertrand Russell (1872-1970) en 1902: Si es el conjunto de los conjuntos que no son miembros de sí mismos, ¿pertenece o no pertenece a ?. Cualquiera de ambas respuestas conduce a una contradicción.

Era indispensable, pues, establecer una teoría libre de contradicciones. Dicho trabajo fue acometido por Ernst Zermelo (1871-1953), quien publicó en 1908 una primera axiomatización de la Teoría de Conjuntos que, en sus elementos básicos, se ha mantenido a lo largo del tiempo incluyendo las posteriores aportaciones a principios de los años 20's de Abraham Fraenkel (1891-1965) y de Thoralf Skolem (1187-1963) y que hoy conocemos como sistema ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice). No obstante, durante los primeros años del siglo XX, coexistieron diferentes visiones de las matemáticas y cada una de ellas implicaba distintos métodos lógicos. La lógica matemática había iniciado su desarrollo con las obras de Gottlob Frege (1848-1925), pero todavía no era una disciplina plenamente establecida. Su desarrollo, en paralelo con la teoría de conjuntos, permitió empezar a hablar de metamatemática, es decir, de la reflexión matemática sobre el contenido de la matemática.

Los programas de superación de las paradojas

Las polémicas sobre la teoría de conjuntos y los métodos lógicos abrieron distintas vías de investigación para garantizar la consistencia de los fundamentos buscando la simplicidad, la claridad, la brevedad y la unidad de los mismos. La necesidad de la consistencia era evidente para todos: no se podía construir un sistema de conceptos fundamentales que condujese a contradicciones. Las demás características pretendían conseguir la más amplia aquiescencia. En definitiva, su justificación debía ser por persuasión y no por demostración.

De esta forma confluyen Teoría de Conjuntos y Lógica Matemática. La primera establece los fundamentos, los conceptos primitivos sobre los que desarrollar la totalidad de la matemática y la segunda para garantizar la validez del método deductivo. Las diferentes vías de investigación mezclarán diferentes posiciones sobre ambas. Estas vías pueden agruparse en cuatro tendencias: logicismo, formalismo, constructivismo e intuicionismo.

La aparición del logicismo

El inicio de la lógica matemática se debe casi totalmente a Frege. Con la publicación de su libro Begriffsschrift (Conceptografía) en 1879 dio un avance sustancial a la lógica, que había permanecido casi inalterada desde Aristóteles. En él desarrollaba un lenguaje universal, la lógica simbólica, para eliminar toda posibilidad de malentendido, propio del lenguaje natural, siguiendo la idea original de Leibniz. A pesar de que la notación actual no sigue la propuesta por Frege, las ideas fundamentales por él establecidas siguen siendo comúnmente utilizadas. Frege quería basar toda la matemática en la pura lógica. En su siguiente libro relevante, Die Grundlagen der Arithmetik (Los Fundamentos de la Aritmética) (1884), se pregunta sobre qué cosa son los números y cuál es la naturaleza de la verdad aritmética, descubriendo los errores lógicos que habían existido hasta ese momento en la definición de número. En 1893 inicia un vasto proyecto al publicar el primer volumen de Die Grundgesetze der Arithmetik (Las leyes básicas de la aritmética), obra concebida para publicarse en tres volúmenes, pero que se interrumpió en 1902, cuando ya estaba en imprenta el segundo volumen, al recibir una carta de Russell en la que le explicaba que sus axiomas eran inconsistentes, dando lugar a la ya mencionada paradoja de Russell. Frege sólo pudo incluir un apéndice en el que modificaba sus axiomas, invalidando muchas de las demostraciones del primer volumen y reconociendo que no hay nada más indeseable para un científico que ver rechazados sus principios cuando tiene su obra finalizada.

No obstante, el programa logicista (llamado así por su pretensión de considerar toda la matemática reducible a la lógica) fue continuado por el propio Russell, quien, conjuntamente con Alfred North Whitehead (1861-1947) publicó sus Principia Mathematicaen tres volúmenes (1910, 1912, 1913). Para sortear la paradoja, Russell y Whitehead eligen la teoría (simple o ramificada) de los tipos creando una jerarquía acumulativa, en cuya base se encuentran los individuos, en el segundo nivel los conjuntos, en el tercero los conjuntos de conjuntos, etc. Mediante este artilugio pueden establecerse predicados que se cumplan (que definan conjuntos), pero sólo para objetos dentro de un mismo nivel jerárquico, evitando así las contradicciones. En definitiva, lo que hacen Russell y Whitehead es definir lógicamente los números como clases de clases y, de esta manera, pueden reducir todas las proposiciones numéricas a cuantificadores e identidad.

El formalismo

La conocida intervención de David Hilbert (1862-1943) en el Congreso Internacional de París de 1900, en la que planteó los 23 problemas matemáticos a resolver durante el siglo XX, iba mucho más allá de la mera relación de dichos problemas. La convicción claramente expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su solución basada en la pura razón [Ver 6 Giaquinto Pág. 125 y ss.]: "En las matemáticas no existe el ignorabimus". Un año antes, Hilbert había publicado su Grundlagen der Geometrie, en el que establecía los axiomas a partir de los cuales podía desarrollarse, mediante pura deducción, toda la disciplina en todas sus variantes, tanto euclídeas como no euclídeas. Mediante este ideal axiomático podía construir un raciocinio sobre objetos que no necesitaba definir; al contrario de Euclides que había precisado de una definición (intuitiva) de los objetos básicos (punto, línea, plano, etc.). El hecho de prescindir de las definiciones de los objetos básicos, hace que se le haya reprochado la reducción de las matemáticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un puro juego con símbolos. La combinación del ideal axiomático con la convicción de que todo problema debe tener solución, conducirá en los años sucesivos a la idea de completud del sistema axiomático. En los primeros años del siglo XX, esta idea es todavía vaga, pero está claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matemáticas ordinarias. También está presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo más reducido posible y deben ser independientes unos de otros.

En los inicios del siglo XX, Hilbert establecerá de forma clara estas ideas, al mismo tiempo que empieza preocuparse por el problema de la consistencia de los axiomas y de su demostración. En 1908, Zermelo publica su primera axiomatización de la Teoría de Conjuntos que, aunque no consigue demostrar su consistencia, representa un gran paso en la dirección sugerida por Hilbert, superando mediante ella las paradojas conocidas. No obstante, Zermelo utiliza el "axioma de elección", presentado en un escrito suyo de 1904, que daba momentánea respuesta al segundo de los problemas de la famosa lista de Hilbert de 1900 y que será muy cuestionado.

A pesar de que Hilbert fue fascinado inicialmente por los Principia Mathematica, se reafirmó posteriormente en la idea del desarrollo simultáneo de la lógica y de las matemáticas (es decir, la lógica también debía axiomatizarse), en contra de lo defendido por Russell de que la matemática se construía a partir de la lógica. De la mano de Hilbert, la Universidad de Gotinga, se convertirá durante los años 20's en el centro del desarrollo de la lógica matemática. La nómina de sus discípulos y colaboradores incluirá, entre otros, a Wilhem Ackermann (1896-1962), Paul Bernays (1888-1977), George Polya (1887-1985), Richard Courant (1888-1972), John von Neumann (1903-1957), etc.

El constructivismo

El máximo exponente del constructivismo es el matemático Leopold Kronecker quien, a pesar de haber muerto en el siglo XIX, seguirá manteniendo una notable influencia en los periodos posteriores. Dos son las tesis fundamentales del constructivismo de Kronecker: la posibilidad de aritmetización estricta de toda la matemática y la no admisión de definiciones que no permitan decidir lo definido. Esta segunda tesis le había llevado a rechazar, no solo la teoría de conjuntos de Cantor, sino también la caracterización del análisis de Weierstrass y la teoría de los números de Dedekind ya que en ninguno de ambos casos existe un procedimiento para decidir si un número, construido mediante un conjunto infinito, es o no es irracional. Su oposición a Cantor tenía la misma base, ya que no aceptaba el principio de inducción transfinita.

Pocos matemáticos de su tiempo siguieron las ideas de Kronecker; sin embargo, sus planteamientos pasaron a una nueva escuela matemática: el intuicionismo que afirmará que no existen objetos matemáticos si no existen procedimientos para su construcción. Bien conocida es la frase de Kronecker: "Dios creó los naturales, todo lo demás es construcción humana", es decir, los objetos de la aritmética y del álgebra, los números enteros positivos, son entidades que 'existen'; mientras que los objetos del análisis matemático, los racionales, los irracionales, los imaginarios, los trascendentes, etc. son meros 'símbolos'.

El intuicionismo

El axioma de elección de Zermelo recibió sus primeras críticas de los matemáticos franceses Emile Borel (1871-1956), René Louis Baire (1874-1932) y Henry Lebesgue (1875-1941) quienes, en 1905, defendían que el axioma era puramente existencial, no constructivo y, con ello, iniciaban un debate sobre las convenciones en matemáticas, con sus raíces en el constructivismo kroneckeriano. Aunque ninguno de ellos formulará una filosofía coherente de las matemáticas, sí que pondrán a debate algunos conceptos básicos, que encontraremos en la raíz del intuicionismo matemático. En primer lugar la clara distinción entre lógica y matemáticas (en abierta oposición a Russell): Si las matemáticas están enlazadas con la realidad, el papel de la lógica se reduce a proporcionar un número ilimitado de posibilidades entre las que elegir. En segundo lugar la existencia de los objetos matemáticos: No aceptan que la consistencia sea un requisito suficiente (aunque sí necesario) de la existencia; no obstante, tampoco definen con claridad cuál debiera ser la condición de suficiencia (quizá algún tipo de característica esencial).

Estas ideas básicas fueron revisadas y debatidas por Henri Poincaré (1854-1912) en una serie de artículos publicados entre 1905 y 1912 en la Revue de Métaphisique et de Morale. En ellos se oponía enérgicamente a la visión russelliana de la matemática como extensión de la lógica. Poincaré, como neokantiano, expresaba su convencimiento sobre el carácter sintético Nota 5 de las matemáticas, poniendo como ejemplo el principio de inducción completa [Ver 3 Detlefsen Pág. 504-505]. Según Poincaré, la aplicación de dicho principio permite pasar de una proposición particular a una general, mediante la simple intuición de la secuencia completa de los números naturales; aplicación que estaría vedada para la lógica que, en ningún caso, podría realizar tal paso. Esta intuición, según Poincaré, no debe entenderse como un tipo de inducción o de intuición sensorial, sino como una pura comprensión mental de algún principio o relación fundamental; sin ella, las matemáticas son imposibles Nota 6 . Otro aspecto importante defendido por Poincaré, es la negación de la existencia del infinito actual y, con ella, la imposibilidad de las definiciones impredicativas.

Quien recogerá estos antecedentes y construirá un nuevo paradigma para las matemáticas será Luitzen Brouwer (1881-1966). La tesis doctoral de Brouwer Sobre los fundamentos de las matemáticas (1907), es el primer acto del intuicionismo y una declaración de principios. Sin usar todavía la palabra 'intuicionismo', es suficientemente claro: "No pueden existir matemáticas, si no han sido construidas intuitivamente". Los títulos de sus tres capítulos establecen los temas básicos sobre los que girarán las polémicas posteriores: La construcción de las matemáticas, Matemáticas y experiencia y Matemáticas y lógica. Brouwer defiende que las matemáticas son una libre creación mental, desarrollada a partir de una intuición primordial (la del tiempo) e independiente de la experiencia; cualquier construcción lógica de las matemáticas conduce a una construcción lingüística que nunca podrá identificarse con las matemáticas reales Nota 7 .

Los debates de los años 20: Brouwer, Weyl, Hilbert y Bernays

La primera vez que se usan los términos "formalismo" e "intuicionismo" es en una recensión, escrita por Brouwer en 1911, del libro de su profesor y amigo Gerrit Mannoury (1867-1956) titulado Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik. La influencia de Mannoury en el inicio del pensamiento brouweriano es reconocida por el propio Brouwer aunque, en este caso concreto, Mannoury no utiliza dichos términos, sino que habla de dos grupos de matemáticos con visiones diferentes: Kantianismusy Symbolismus. No obstante, los términos intuicionismo y formalismo, adquirirán pleno sentido con la conferencia de admisión en la Academia Holandesa de las Ciencias que pronuncia Brouwer en Octubre de 1912 y que fue traducida al inglés en 1913 por el Bulletin of the American Mathematical Society. En ella, explica con detalle las diferencias entre ambas concepciones, exponiéndolas en su forma más radical: "La pregunta sobre dónde reside la exactitud matemática, es respondida de forma diversa: los intuicionistas dicen que en la mente; los formalistas, en el papel".

La Primera Guerra Mundial (1914-1918) significa un fuerte descenso en las actividades académicas y en la comunicación internacional, por lo que la polémica no se desatará hasta una vez finalizada ésta. Por su importancia posterior, conviene indicar que Brouwer, a propuesta de Felix Klein (1849-1925), acepta en 1914 el puesto de editor de la revista Mathematische Annalen, quizá la revista matemática más prestigiosa del momento.

El debate formalismo - intuicionismo

La polémica formalismo - intuicionismo dominará todo el debate fundacional durante los años 1920's, teniendo a Hilbert y Brouwer como sus máximos exponentes. Dos serán los temas centrales del debate:

1. La naturaleza de las matemáticas: como construcción del entendimiento humano o como teoría de los lenguajes formales.

2. El papel de Principio de Tercio Excluso (PTE) en matemáticas y la lógica alternativa restrictiva de Brouwer.

El debate, bien sea por el carácter difícil de Brouwer o bien por la gran influencia de Hilbert, traspasó los ámbitos puramente académicos para convertirse en un juego de enfrentamientos entre sus protagonistas, que alcanzará, en ocasiones, el nivel personal Nota 8 . Este juego de enfrentamientos se iniciará en 1921, con lo que Hilbert considerará una deserción: la de su alumno Hermann Weyl (1885-1955), quien publica en ese año Sobre la nueva Crisis de Fundamentos en las Matemáticas, defendiendo (aunque no en su totalidad) las tesis de Brouwer; y finalizará en 1928 con la expulsión de Brouwer del consejo editorial deMathematische Annalen mediante un recurso poco limpio de Hilbert y que llevó a Albert Einstein (1879-1955) a calificarlo de "guerra de sapos y ratones".

Según algunos autores, el propio Hilbert no leyó nunca ni una solo línea de los escritos de Brouwer. Y es un hecho que Hilbert prefirió, en general, ofrecer sus ideas en cursos y en conversaciones con sus colaboradores.

La lógica

Es precisamente en una conferencia de Hilbert, pronunciada en Zurich en septiembre de 1917, en la que vuelve a insistir en la necesidad de resolver los problemas que estaban en la base de su famosa conferencia del Congreso del año 1900:

1. El problema de la resolución de cualquier cuestión matemática (la completud).

2. El problema de hallar un método simple y regulado para las demostraciones (teoría de la demostración).

3. El problema de la relación entre contenido y formalismo (los objetos matemáticos).

4. El problema de la decibilidad mediante procedimientos finitos (el finitismo) [Ver 17 Reid Pag. 151].

Durante unos años, Hilbert no fue muy activo debido a problemas familiares. Pero a partir de 1920-1921 empezó a desplegar una gran actividad. Como afirma Adolf Kratzer (1893-1983), su asistente en esa época en cuestiones de Física:

"En verano de 1920, [Hilbert] estaba interesado sobre todo por los problemas de la mecánica del átomo. Su objetivo era la axiomatización. Sus preguntas siempre se dirigían a mi; me parecía que sólo hablaba yo, mientras Bernays escuchaba. Pero a partir del invierno de 1920-1921, sus intereses empezaron a cambiar. Ahora su objetivo primordial era la formalización de los Fundamentos de las Matemáticas sobre una base lógica; y Bernays hablaba mientras yo escuchaba" [Ver 17 Reid Pág. 153].

La propuesta de Hilbert es, pues, formalizar las Matemáticas dentro de un sistema cuyos objetos -teoremas y demostraciones- se expresen, mediante el lenguaje de la lógica simbólica, como proposiciones que tienen su estructura lógica pero carecen de contenido.

El rechazo de Brouwer a esta propuesta es frontal: "En matemáticas, desde el comienzo mismo, tratamos de lo infinito; mientras que la lógica corriente está hecha para razonar acerca de colecciones finitas”.

El principio de tercio excluso (PTE)

En una fecha tan tardía como 1951, Weyl todavía afirmaba que:

"El Principio de Tercio Excluso para este tipo de proposiciones [las referidas a conjuntos infinitos] puede ser válido para Dios, que conoce todas las infinitas secuencias de todos los números naturales tal como son y de un solo vistazo, pero no lo es para la lógica humana".

Esta afirmación significa retomar el argumento intuicionista de aquellos años que rechaza su uso indiscriminado, el problema que plantea este rechazo, es que el principio de tercio excluso se halla en la base de las demostraciones por reducción al absurdo, tan usuales en las matemáticas clásicas, de tal forma que muchas demostraciones, hasta entonces aceptadas, serían inválidas.

Brouwer ya había hecho referencia al PTE en su tesis doctoral afirmando que era vacío de contenido, pero su tratamiento había sido muy breve. El primer artículo de Brouwer sobre el tema que tiene repercusión inmediata es su "Teoría de Conjuntos Intuicionista" (1919). En el mismo rechaza, además de otras cosas, el PTE como herramienta para las demostraciones, afirmando que tan sólo tiene un valor heurístico y escolástico y que es equivalente al axioma hilbertiano de resolubilidad de todos los problemas. La posición de su correligionario Weyl, no es tan drástica: en su artículo "Sobre la nueva crisis de fundamentos en las matemática" (1921) afirma:

"En su rechazo del axioma lógico del tercio excluso, Brouwer va esencialmente más allá de lo que he expuesto hasta aquí. Él niega su validez, no sólo para las proposiciones existenciales sobre secuencias numéricas, sino también para las proposiciones existenciales sobre los propios números naturales".

En definitiva, Weyl, que es un alumno de Hilbert, no está de acuerdo con la negación del principio de resolubilidad de todos los problemas. La propuesta de Weyl es excluir de la aplicación del PTE sólo a las proposiciones existenciales y universales.

En septiembre de 1920 tiene lugar el Congreso de Científicos alemanes, coincidiendo con el Congreso de Matemáticos de Estrasburgo (al que los matemáticos alemanes no son invitados como consecuencia de la guerra mundial). El título de la conferencia de Brouwer es "¿Tiene todo número real una expansión decimal?", y se publica el año siguiente en Mathematische Annalen. La respuesta de Brouwer es negativa, basándose en el incompleto conocimiento que tenemos del desarrollo decimal de pi.

Hilbert, en su artículo "Los fundamentos lógicos de las matemáticas" (1923) acepta, al menos en la versión menos estricta de Weyl, que el uso indiscrimanado del PTE en conjuntos infinitos puede ser problemático y propone la adición de nuevos axiomas que expresen transfinitamente los razonamientos usados en las matemáticas clásicas; demostrando, claro está, la consistencia del sistema resultante. Durante el año 1924, el debate sobre el uso del PTE se extiende, más allá del círculo de autores estudiados, hasta el punto de ser reconocido como uno de los temas centrales del debate sobre fundamentos.

Será Hilbert quien abrirá la vía de solución en su artículo "Sobre el infinito" (1925). En él se pregunta qué se puede hacer para no renunciar a las simples leyes de la lógica aristotélica. Y a continuación expone un ejemplo de un conjunto de axiomas que además de incluir los principios clásicos (no contradicción, doble negación, introducción y eliminación del implicador, identidad e inducción completa) añade axiomas transfinitos. Con el método de los elementos ideales, la Teoría de Demostración es la piedra clave en el edificio de la teoría axiomática.

Brouwer (y algún discípulo suyo) construirán con posterioridad otros contraejemplos; siempre basados en la incapacidad de demostrar algún problema insoluble. El propio Brouwer reconoce que el problema insoluble básico puede, con el tiempo, llegar a ser demostrado; con lo cual el contraejemplo desaparece. Pero como que Brouwer, al contrario que Hilbert, no cree que todo problema matemático pueda ser resuelto, siempre existirá la posibilidad de construir nuevos contraejemplos. No obstante, Brouwer, más adelante, denominará a este tipo de contraejemplos 'débiles', por la posibilidad de ser refutados.

Conviene considerar estos contraejemplos débiles, ya que en ellos se encuentran algunos de los elementos fundamentales de la filosofía de las matemáticas intuicionista:

1. El constructivismo: no se puede definir ningún concepto matemático sin haber dado una fórmula para su construcción. En este sentido, la definición de los números reales como cortes de Dedekind o de los números transfinitos de Cantor, serían un sinsentido desde el punto de vista intuicionista.

2. El antiplatonismo: el rechazo de la idea metafísica de que existen verdades eternas, independientes de nuestro conocimiento de ellas.

El último ataque de Hilbert contra la posición de Brouwer se produce con su artículo "Los Fundamentos de las Matemáticas" (1927), donde vuelve a exponer el sistema axiomático expuesto en su "Sobre el infinito" y del que entresacamos la siguiente dura cita:

"Quitarle el Principio de Tercio Excluso al matemático es lo mismo que prohibirle al astrónomo el telescopio o al boxeador usar sus puños". (Hilbert, 1927)

Hilbert expresa su disgusto de forma poco académica:

"En estas circunstancias, estoy asombrado de que un matemático pueda dudar de que el principio de tercio excluso sea estrictamente válido como sistema de inferencia. También me asombra que, según parece, haya constituido una comunidad entera de matemáticos que hacen lo mismo. Y más asombrado por el hecho de que, incluso en los círculos matemáticos, el poder de seducción de un único hombre, por muy temperamental e ingenioso que sea, sea capaz de tener los efectos más excéntricos e improbables".

Hilbert se refería a un reducido número de matemáticos que, siguiendo a Brouwer, empezarían un proceso de formalización de la lógica intuicionista, entre los que se cuentan a Andrey Kolmogorov (1903-1987), Ludwig Bieberbach (1886-1982) y Arendt Heyting (1898-1980). El argumento final de Hilbert es, pues, ad hominem, lo que demuestra lo abatido que se hallaba por el tema.

La clausura del debate

Imposibilidad del programa formalista

Si Hilbert estaba abatido, más lo tuvo que estar cuando un joven llamado Kurt Godel (1906-1978) demostró en 1931 la imposibilidad de demostrar la consistencia de un sistema axiomático dentro del propio sistema axiomático. No obstante, de la mano de Skolem, von Newman, Tarski y otros, se entró en un amplio desarrollo de la Teoría de la Demostración.

La 'formalización' del intuicionismo

En los años sucesivos, y gracias fundamentalmente al esfuerzo de Heyting y sus discípulos, el intuicionismo entró en una dinámica 'formalista', estableciendo nuevos sistemas lógicos, y conectando con las lógicas no clásicas, especialmente con las polivalentes. Sin embargo, el intuicionismo, no ha tenido influencias decisivas en los últimos desarrollos de las matemáticas.

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La creatividad y la matemática

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http://elpais.com/elpais/2016/05/09/ciencia/1462803900_977624.html

¿Existe un cerebro matemático?

En este órgano existe un área especializada en entender el álgebra, la geometría y las matemáticas avanzadas

Y la hay. Los resultados sacaron a relucir una serie de zonas del cerebro (de ambos hemisferios) de la corteza prefrontal, la corteza parietal y el lóbulo temporal inferior y el cortex prefrontal que se activan solo cuando los matemáticos se enfrentan a enunciados o problemas de su especialidad.

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Abecedario de Malika Favre

«Los alumnos que no tengan una buena base

de Matemáticas fracasarán»

Si queremos volver al éxito en las matemáticas de hace 100 años tenemos que hacer lo que se hacía entonces:

Incorporar la geometría a un nivel intuitivo para entender los ejercicios, promover más enseñanza de dibujo técnico en cohesión con las matemáticas, ya que es la fundamentación gráfica de las mismas, hacer ejercicios de tipo práctico aplicable en el día a día a lo cotidiano, darle un sentido utilitario a los contenidos haciendo ver para qué sirven en cada momento, resolver ejercicios intentando deducir los planteamientos olvidándonos de las fórmulas que se aplican sin saber de donde salen, y sobre todo no realizar ni un solo ejercicio que no se pueda concebir gráficamente ya que una imagen da más información que mil palabras y que un millón de fórmulas.

Por último, sabiendo que cada persona tiene distintas capacidades, concebir los contenidos bajo desarrollos intuitivos, inductivos, deductivos, experimentales, lógico- formales, etc., según el caso, ya que cada alumno tiene una forma distinta de aprender y distintas aptitudes.

Propongo que se escuche a Ken Robinson, uno de los problemas de la educación
es que está extremadamente jerarquizada, todos los días nos hablan de las bondades
de aprender matemáticas cada vez con métodos más extravagantes, pero no hay que
olvidar que el éxito de la educación consiste en eludir la enseñanza direccional
y convergente de las ciencias que ahoga la creatividad y el pensamiento imaginativo y lateral.

Si queremos que los alumnos triunfen incluso en matemáticas deben aprender
a desarrollar una capacidad emocional propia de materias humanísticas y artísticas,
en la que prima saber diferente y encontrar respuestas nuevas, y esa es la originalidad
que hace prosperar a las empresas, por ello la base del éxito está en la creatividad,
en pensar diferente, y los docentes deben abrir caminos para que eso suceda,
por ello hace falta más peso a enseñanzas artísticas en cohesión con las científicas.

La clave del fracaso moderno de la matemática

Se viene muchos años hablando del fracaso en matemáticas, la explicación es muy simple, cojamos un libro de matemáticas de hace 50 años, un tratado como los de Puig Adam, trabaja las demostraciones de forma intuitiva y con mucho dibujo, no intentéis aprender matemáticas si no lo sabéis dibujar antes, tanto pedagogo ofreciendo métodos nuevos y realmente estamos retrocediendo, nuestros abuelos sabían mejor la matemática que nosotros. El gran problema de las matemáticas que se han algebrizado, no intentes entender la matemática formal moderna si no dominas los métodos de Euclides, de la geometría sintética.

Los alumnos resuelven sistemas de ecuaciones lineales sin saber que representan rectas y que la intersección es un punto, por regla general, si no lo dibujas no lo vas a entender nunca porque directamente no sabes lo que estás haciendo.

Casi todos los alumnos de bachiller saben hacer derivadas pero pocos dibujan esa pendiente de la recta tangente en una curva, ni siquiera saben qué significa eso. La clave del éxito de las matemáticas es conjugarlas con el dibujo técnico y la geometría descriptiva.

He tenido alumnos en bachillerato que calculaban la intersección de superficies cuádraticas sin saber lo que era eso y ese es el gran problema de las matemáticas, más vale saber cuatro cosas bien entendidas y prácticas, así como saberlas aplicar en la realidad, que entender mucho lenguaje abstracto algebraico sin saber de lo que estamos hablando.

Creo que la enseñanza matemática superior también adolece de una geometría gráfica descriptiva, debería ser una materia obligada en las facultades de matemáticas pero por desgracia no es así, ni siquiera existe como optativa, así hay tanto matemático que no sabe hacer la O con un canuto.

La matemática la define muy bien Bertrand Russell: ”la matemática es aquella disciplina en la que no sabemos de lo que estamos hablando ni si lo que decimos es verdad”, realmente es la definición de la matemática formal moderna, sin embargo Euclides y Arquímedes sí que sabían de lo que hablaban, vaya si lo sabían.

Filosofía y matemáticas

Entiendo que si le gusta la filosofía le deben gustar las matemáticas, la geometría euclídea se ajusta a nuestro espacio intuitivo, la geometría de Lobachevski al espacio de la percepción visual, de la visualización de los objetos mediante curvas de superficies negativas, la geometría de Riemann es el fundamento de la teoría de la relatividad del espacio curvo positivo de nuestro universo, la geometría proyectiva explica los fundamentos de las transformaciones y alineaciones tan utilizados en el arte mediante la perspectiva, la geometría fractal estudia el microcosmos y su estructura organizativa, la topología las transformaciones elásticas, la lógica matemática tiene su origen en Aristóteles y Bertrand Russell fusiona Matemática y filosofía mediante la lógica en su famoso tratado de los principios de la matemática, Platón en su república hace referencia a la geometría y a su lenguaje ridículo, refiere además que no entre en su academia quien no sepa geometría, estudia los sólidos platónicos o poliedros regulares y su aplicación en el universo, filosóficamente lo hace después Kepler, que también estudia las órbitas planetarias definidas por la geometría de las cónicas, podríamos seguir hasta el infinito -Tan estudiado en matemáticas bajo distintas concepciones-, la filosofía es un enfoque fundamental para la matemática.

Si le hubieran explicado estos detalles de forma práctica mediante ejemplos concretos seguramente le gustaría, por lo menos a un nivel intuitivo.

Estudio de creatividad

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lunes, 31 de marzo de 2014

Creatividad científica